Introducción a la carta de Smith
Desde hace unos pocos años se ha popularizado entre los radioaficionados el uso del VNA como instrumento de laboratorio y de campo. VNA viene de Vector Network Analyzer que se traduce como Analizador Vectorial, lo de redes se sobreentiende. ¿Esto qué es?, pues un instrumento que nos proporciona la impedancia que hay a su entrada para cada frecuencia de prueba. Como la mayoría de aficionados no están familiarizados con la carta de Smith, estos instrumentos sacan gráficas con las curvas de impedancia con la parte real y la parte imaginaria. No es nada sencillo usar esta información ni en forma de gráficas ni en forma tabular. La mayoría de los programas permiten presentar las medidas en la carta de Smith.
Para manejar toda esta cantidad de información en forma polar y facilitar el trabajo de cálculo de adaptadores de antena, allá a mediados de la década de los años 30 del siglo pasado, Pillip Smith hizo un nomograma que tras varias mejoras consiguió exponer de forma gráfica todos los datos que se manejan en los problemas de adaptación de impedancia. EL resultado es una carta circular que relaciona de forma muy simple impedancias, ROE y líneas de transmisión entre otras. Para sacar partido de esta maravilla de la era de la regla de cálculo es importante saber interpretarla y como se comportan los circuitos básicos.
Carta de Smith
El eje central de la carta es la línea de resistencia real. Va desde 0 ohmios, cortocircuito, a la izquierda de la gráfica hasta el infinito, circuito abierto, a la derecha. Esto nos permite representar cualquier valor de resistencia, aunque desde el punto de vista práctico, para una carta centrada en 50 ohmios, los valores de resistencia por encima de 500 ohmios no se pueden representar bien. Pero es que 500 ohmios es una ROE de 10:1 para una carta centrada en 50 ohmios y por tanto ya no tiene mucho interés trabajar con impedancias tan altas.
Bien, ya sabemos que la parte real de la impedancia se presenta en la recta horizontal de la carta. Para representar la parte imaginaria tendremos que tener en cuenta si es positiva, inductiva, o negativa, capacitiva. En la carta de Smith, la mitad superior se usa para presentar la parte imaginaria positiva de la impedancia mientras que la parte inferior se usa para presentar la parte imaginaria negativa.
La carta de Smith en papel se completa con escalas en el borde de grados y longitudes de onda que son muy útiles para trabajar con líneas de transmisión. En algunas cartas se incluye a un lado una escala de ROE, coeficiente de reflexión y pérdidas de retorno en dB.
Fijémonos en las circunferencias que son tangentes en el infinito. Estas circunferencias cortan al eje real en el infinito y en el otro punto. Este segundo punto de corte coincide con el valor de resistencia que representan las circunferencias de la parte real constante. Normalmente las cartas de trabajo tienen los círculos muy próximos para facilitar su uso, pero en los ordenadores salen gráficas más simples y el programa calcula la impedancia de cada punto donde colocamos el ratón. Ahora fijémonos en los arcos que salen desde el infinito y se alejan del eje real hasta cortar el borde de la carta. Estos arcos corresponden a la parte imaginaria de la impedancia, los hay en el lado positivo de la carta y simétricamente en el lado negativo. La impedancia de un punto será e cruce del circulo de resistencia constante con el arco de la parte imaginaria constante.
Por ejemplo 25+25j será el cruce de la circunferencia de 25Ω con el arco de 25Ω positivo. Si plegamos la carta por el eje real, veremos que la impedancia 25-25j es justo la posición simétrica respecto del eje real, es decir la impedancia conjugada.
Cuando hablamos de impedancia que se escribe como R±jX, hablamos de una resistencia en serie con una bobina o condensador. En este caso trabajamos en la carta de Smith como se ha explicado, pero también es muy útil trabajar con admitancias. En este caso, los componentes, en lugar de estar en serie se ponen en paralelo, pero manejar paralelos es una dificultad añadida. Si a la carta de Smith le damos la vuelta, como si el papel fuera transparente y lo vemos por el reverso, el infinito pasa del lado derecho al izquierdo y viceversa con el cortocircuito. Ahora los círculos son tangentes en el lado izquierdo y lo que representan es la parte real de la admitancia. Los arcos que salen del lado izquierdo y se separan del eje real hasta cortar el círculo exterior de la carta, son las admitancias imaginarias. En la figura de la carta se presentan ambos casos superpuestos de tal forma que podemos ver de forma simultánea impedancias y admitancias. Podemos pasar de un modo al otro sin hacer nada, solo es cuestión de seleccionar los círculos y arcos que nos interesan en cada momento.
Veamos un ejemplo, el punto de impedancia donde cruza 25+25j vemos que corresponde con la admitancia 0,02+0,02j. Es decir, 1/0,02=50 por lo que la admitancia será una resistencia de 50 ohmios en paralelo con una bobina que a la frecuencia de trabajo tenga 50 ohmios. Esta bobina a 10 megahercios tendrá un valor de 795,7747 nanohenrios. Pasar de serie a paralelo no es sencillo en números complejos, pero con la carta de Smith solo es cuestión de elegir unas curvas u otras. ¿milagro, magia?. No, matemáticas.
ROE
Otra funcionalidad importante que permite la carta de Smith es ver la ROE de forma no solo inmediata, sino además ver todas las impedancias que producen una ROE determinada y cuales están por debajo de esa ROE o por encima. En el eje real, la ROE es el cociente de la resistencia real por 50, si la resistencia es mayor a 50Ω o 50 dividido por la resistencia real, si ésta es menor a 50Ω. Bien, la ROE 1,5:1 corresponde a 75/50 o a 50/33. Resulta que en la carta de Smith ambos valores de resistencia son equidistantes con el centro de la carta, los 50Ω. Por tanto si se traza un circulo con centro en la carta y radio la distancia entre 75Ω y 50Ω, tendremos el circulo de ROE constante 1,5:1. Podemos ver que hay infinitas combinaciones de resistencia real comprendida entre 33Ω y 75Ω con partes imaginarias que dan como resultado una impedancia dentro del circulo de ROE 1,5:1. Por ejemplo 46,2+19,2j presenta una ROE de 1,5:1.
Calcular la ROE de una impedancia dada no es sencillo matemáticamente, pero con la carta de Smith basta con trazar un circulo que pase por la impedancia que estudiamos, vemos donde corta en el eje real, dividimos por 50 y ya tenemos la ROE.
Adaptación de impedancias
Una de las utilidades más importantes de la carta de Smith es la adaptación de impedancias. Veamos los circuitos básicos y como se pueden manejar en la carta de Smith.
El circuito más simple para adaptar impedancias es el adaptador en L. Es un adaptador de dos elementos, uno serie y otro paralelo, que se pueden combinar de cualquier forma.
En general los circuitos 1 y 2 cubren la mayoría de las impedancias que se quieran adaptar. La topología pasobajo además mejora el rechazo de armónicos.
Al colocar una bobina en serie, con la impedancia a adaptar, nos movemos en la carta de Smith por el círculo de resistencia constante. Por ejemplo, para una impedancia de 10+100j la adaptamos con un circuito que presente su impedancia conjugada, es decir 10-100j.Llevamos esta impedancia a la carta y al colocar una bobina serie vamos desplazándonos por la circunferencia de resistencia 10Ω. Para unos determinados valores de la bobina serie cruzaremos la circunferencia de admitancia 0,02Ω en sendos puntos. Con el valor de XL = 120j podemos ver en el dibujo adjunto como la impedancia pasa de 10-100j a 10+20j. Esta impedancia está encima del circulo de admitancia 0,02. Por tanto si la pudiéramos movernos por este círculo llegaríamos al centro de la carta, o sea ROE 1:1. Como veremos más adelante esto se hace poniendo un condensador en paralelo de -20j.
Línea de transmisión
Las líneas de transmisión en la carta de Smith pueden tener varias utilidades. Una línea puede ser un condensador, una bobina, un cortocircuito o simplemente mueve la impedancia de sitio, entre otras posibilidades que se salen de esta breve descripción.
Nos centramos en una línea que se conecta entre la carga, antena y el generador, TX. Por ejemplo una antena que presente una impedancia de 150-150j, la ROE de esta antena es de 6:1. Si la conectamos con el TX mediante un cable coaxial la impedancia al otro extremo del cable se haya simplemente haciendo un circulo que pase por la impedancia y nos desplazamos por este circulo la longitud en grados del cable. Podemos ajustar la longitud del cable como para cruzar con la circunferencia de resistencia 50Ω y añadir una bobina serie para ajustar la ROE o cruzar el circulo de admitancia 0,02Ω y añadir un condensador en paralelo para ajustar la ROE. Esto solo es conveniente hacerlo junto a la antena para que las pérdidas en el cable sean bajas.
Vamos a suponer que tenemos una línea de cable paralelo tipo escalerilla de 450 ohmios. Este cable tiene un factor de velocidad de 0,91. Por tanto, para la banda de 40m un cuarto de longitud de onda tiene una longitud de 9,64m de largo. Sabemos que una sección de cuarto de onda se puede usar como transformador de impedancia. Cogemos una carta y la centramos en 450 ohmios. Por tanto, 50 ohmios estará en 50/450=0,111 en el eje real de la carta.
Como la carta está centrada en 450 ohmios, los 50 ohmios están cerca del origen a la izquierda, 0,111. Con un compás, colocamos la aguja en el punto central de la carta, trazamos un arco de circunferencia que pase por el punto de 0,111 hasta cortar nuevamente con el eje real. En el borde de la carta podremos ver que a la izquierda hay una escala de longitud de onda que empieza en cero y a la derecha marca 0,25. Justo la longitud eléctrica del cable que estamos usando. Bien, el punto de cruce en el lado derecho coincide con el círculo de resistencia constante 9. 9*450 = 4050 ohmios. La sección de un curto de longitud de onda transforma 4050 ohmios en 50 ohmios a la frecuencia para la cual está ajustada la longitud del cable para tener un cuarto de longitud de onda eléctrica. Este es un caso sencillo. Se aplica una fórmula que relaciona las impedancias de entrada y salida para un cable de un cuarto de longitud de onda. Pero si en lugar de un cuarto fuera otra longitud, la impedancia de entrada y salida ya necesitan usar fórmulas mucho más complejas. Sinembargo con la carta de smith es directo. No exacto, por las limitaciones del papel, pero suficientemente aproximado. Conclusiones
Como la carta está centrada en 450 ohmios, los 50 ohmios están cerca del origen a la izquierda, 0,111. Con un compás, colocamos la aguja en el punto central de la carta, trazamos un arco de circunferencia que pase por el punto de 0,111 hasta cortar nuevamente con el eje real. En el borde de la carta podremos ver que a la izquierda hay una escala de longitud de onda que empieza en cero y a la derecha marca 0,25. Justo la longitud eléctrica del cable que estamos usando. Bien, el punto de cruce en el lado derecho coincide con el círculo de resistencia constante 9. 9*450 = 4050 ohmios.
La carta de Smith resulta muy útil para trabajar con impedancias, adaptadores, líneas de transmisión, etc. Los programas de VNA suelen tener una ventana para trabajar con la carta de Smith de forma que resulta más sencillo interpretar los resultados que hacerlo con curvas de parte real e imaginara separadas. La ROE es un valor adimensional pero está muy relacionado con la impedancia y en la carta de Smith queda todo representado de forma compacta y directamente interpretable.
La carta se Smith trabaja con valores resistivos independientes de la frecuencia. Para pasar a valores reales de inductancia y capacidad hay que usar una calculadora que haga el cálculo para la frecuencia de trabajo deseada o hacerlo mediante las clásicas fórmulas:
con F en MHz la L está en microhenrios.
con F en MHZ C está en picofaradios.
https://es.scribd.com/document/693939169/Carta-de-Smith Carta de smith para imprimir en color, impedancia y admitancia.
