Modelado del cristal de cuarzo para el diseño de filtros en escalera
Para medir los parámetros de un cristal hay varias técnicas pero la más precisa, posiblemente, es la que no introduce elementos capacitivos extra, al contrario del sistema del oscilador que es el que comúnmente se emplea. Usar un oscilador para medir un cristal introduce capacidades y cargas propias del circuito oscilador que modifican el comportamiento del cristal. Vamos a describir cómo hacer las medidas de los cristales y cómo calcular sus componentes equivalentes internos. Conocidos estos ya se pueden usar en el cálculo de filtros.
Primero veremos un poco de teoría para entender todo el
proceso de medida y cálculo necesario. Luego veremos en la práctica unas
soluciones usando el OFV del EA QRP que se publicó en Navidad o en su defecto
el OFV 900.
Frecuencias de un cristal y circuito equivalente
En la figura 1 podemos ver el
circuito equivalente de un cristal. Consta de una bobina, dos condensadores y
una resistencia. Este circuito nos permite modelar el cristal pero necesitamos
saber el valor de los componentes que lo forman.
Fig 1: Circuito equivalente de un
cristal
Los cristales tienen dos
frecuencias de resonancia, una serie en la que dejan pasar la señal y otra
paralelo que bloquea el paso de la señal. En el circuito de la figura 1 podemos
ver que L1C1 determinan la frecuencia de resonancia serie
del cristal y L1 junto con el circuito serie formado por C0
y C1 forma un circuito resonante paralelo que determina la
frecuencia de resonancia paralelo del cristal[1].
Si se coloca un condensador en
serie con el cristal se puede modificar la frecuencia de resonancia serie, al
quedar éste en serie con C1. Esto estamos muy acostumbrados a verlo
en los circuitos osciladores, es el condensador de ajuste de frecuencia.
Medir los componentes internos de
un cristal no es posible de forma directa, tampoco los fabricantes aportan tal
información. Por tanto nos vemos obligados a medir de alguna forma las frecuencias
del cristal que queremos usar y calcular los valores de los componentes del
circuito equivalente.
A continuación vamos a ver con un
ejemplo cómo esto es posible:
Fig 2: Frecuencias serie y
paralelo de un cristal para distintos valores de CL
En la figura 4 podemos ver el
circuito de medida y en la figura 2 podemos ver los resultados de medir un
cristal con diversas capacidades en serie. La curva superior está en escala
logarítmica y la inferior en escala lineal. Para obtener estas curvas se ha
usado un programa de simulación [4]. En la escala logarítmica podemos ver la
gran diferencia que hay en la amplitud de la señal que hay entre las
frecuencias de resonancia serie y la resonancia paralelo, además podemos ver
que la frecuencia de resonancia paralelo se mantiene constante
independientemente de la capacidad externa conectada al cristal.
Podemos medir de forma sencilla
la frecuencia de resonancia paralelo y la frecuencia de resonancia serie para
diversas capacidades añadidas en serie.Conocida la capacidad que vamos a
colocar en serie con el cristal y medidas las frecuencias de resonancia en cada
caso, es posible relacionar matemáticamente estas frecuencias con los componentes
internos del circuito equivalente del cristal.
A partir de ahí ya tenemos los
datos necesarios para alimentar algún programa de cálculo de filtros [2][3].
Incluso podemos simular el circuito [4] del filtro calculado. Para ello usando
los datos obtenidos para cada cristal que vayamos a usar y de esta forma
podemos hacer un estudio preciso del filtro diseñado. Igualmente podemos ver
cómo afecta cada componente en el resultado final, no solo cada uno de los
cristales, sino también los condensadores con sus tolerancias.
Para hacer las medidas de las
frecuencias se usa el montaje de la figura 4. Cuando el cristal se conecta sin
condensador en serie se obtiene la frecuencia de resonancia serie Fs, esta
frecuencia está por debajo de la frecuencia marcada en el cristal. Montaremos
el cristal directamente sin condensador ni zócalo u otro componente que
introduzca capacidades o inductancias parásitas. Contrariamente la frecuencia de resonancia
paralelo FP se encuentra bastante por encima de la frecuencia marcada
en el cristal.
Mientras que para la frecuencia serie, FS, el
cristal se comporta como una resistencia de bajo valor, la resistencia de
pérdidas, en la frecuencia de resonancia paralelo, FP, el cristal se
comporta como un circuito abierto. Si colocamos un condensador en serie con el
cristal veremos que la frecuencia de resonancia serie, FS, varía
hacia arriba. Para un condensador de 27 a 30 pF la frecuencia de resonancia
serie coincide con lo marcado en el cristal. Para un condensador de 10 pF esta frecuencia
es un poco más alta de lo marcado, pero siempre será más baja que la frecuencia
de resonancia paralelo. El pico de resonancia serie se detecta de forma más
fácil usando una escala lineal. Por tanto el instrumento de medida debe tener
la máxima resolución para medir la amplitud en las frecuencias de resonancia
serie y una buena sensibilidad para medir el mínimo en la frecuencia de
resonancia paralelo.
Relaciones matemáticas
Los componentes del circuito
equivalente y las frecuencias de resonancia serie y paralelo está relacionados
por las siguientes ecuaciones.
Eq [1]
|
Esta es la frecuencia de
resonancia serie propia del cristal. C en faradios, L en henrios y F en
hercios.
|
|
Eq [2]
|
 |
Esta es la frecuencia de
resonancia paralelo del cristal. Las unidades como en el caso anterior
|
Eq [3]
|
 |
Frecuencia de resonancia serie
del cristal, cargado con un condensador CS, es función de la
frecuencia serie propia del cristal y las tres capacidades, las dos internas
del cristal más la externa.
|
Eq [4]
|
 |
La resistencia serie
equivalente del cristal es función de la resistencia serie interna y la
capacidad externa que se le coloca en serie.
|
CS es el condensador serie que se coloca para medir la resonancia
serie del cristal con carga. Normalmente para un condensador de 27pF a 30pF
coincide la frecuencia medida con la que viene marcado el cristal.
Podemos pensar que estas tres
ecuaciones no nos sirven para nada si no conocemos los componentes internos del
cristal. Nada más lejos de la realidad, las frecuencias las podemos medir, con
medios caseros, por tanto teniendo tres ecuaciones con tres incógnitas, L1,
C0 y C1, podemos resolver el sistema de ecuaciones y
hallar la relación que hay entre las frecuencias y los componentes del circuito
equivalente del cristal.
El desarrollo matemático no es
complicado pero lo pasaremos por alto y daremos los resultados de éste. Solo
decir, para los más curiosos, que las dos frecuencias serie para 10pF y 27pF
permiten hallar el valor de C0 en la ecuación 3. Por substitución en
las otras ecuaciones se pueden despejar L1 y C1.
Para calcular C1 se relacionan
demasiados términos y para simplificar su cálculo vamos a realizarlo dos pasos.
Primero hallamos los valores KFL27 y KFL10, y para ello
usamos las ecuaciones 5 y 6. Ahora con estos dos valores usaremos la ecuación 7
para hallar el valor definitivo de C1.
Eq [5]
|
 |
K para una capacidad serie de
27pF. FL27 es la frecuencia obtenida con esta capacidad de carga
de 27pF.
|
Eq [6]
|
 |
K para una capacidad serie de 10.
FL10 es la frecuencia obtenida con esta capacidad de carga de 10
pF.
|
En las ecuaciones 5 y 6 FS es
la frecuencia de resonancia serie del cristal medida sin condensador de carga.
Las unidades de la frecuencia son Hz y se tienen que medir con una precisión
mejor que 100Hz.
Caso práctico
Ya conocemos lo que hay que medir
y cómo hacer los cálculos. Ahora vamos a ver de forma práctica cómo hacerlo. En
función de los medios de cada uno se puede hacer de otra forma, pero vamos a
ver un método que es posible hacerlo en casa con pocos medios pero que suelen
estar disponibles en la mayoría de los casos.El objetivo es medir las
frecuencias de resonancia serie, paralelo, la resistencia serie equivalente y
también la frecuencia de resonancia
serie cargado con 10pF y 27pF .Una vez tengamos todas las medidas podemos hacer
los cálculos con las ecuaciones 5 a 9.. Para todo ello se usa el montaje
de la figura 4. Necesitamos que no introduzca capacidades parásitas, por tanto
no usaremos zócalos para los cristales, ni conmutadores, ni circuitos impresos.
Haremos un montaje al aire tipo “araña” (Manhattan en fino). Para cada medida
se suelda el cristal y los condensadores que sean necesarios.
Fig 3: Ejemplo de montaje para
medir el cristal
Como generador de RF, conectado
en J1, podemos usar el OFV del EA QRP que se publicó en Navidad o en su defecto
el OFV 900. Por descontado, aquellos que tengan un buen generador de RF lo
tienen mucho más fácil. Otra solución muy cómoda de usar es un TRX abierto con
un atenuador de modo que en J1 haya una potencia de no más de 10mW. La ventaja
de usar el OFV 900 es que al ir en saltos de 100 Hz es válido para las medidas
a realizar y tendremos la lectura directa de la frecuencia en su pantalla, por
el contrario con el OFV del EA QRP necesitaremos además un frecuencímetro para
saber en qué frecuencia estamos.
También necesitamos un medidor de
señal de RF, un milivoltímetro es lo ideal pero no nos asustemos, a falta de
éste podemos usar un detector a diodo con un voltímetro digital que conectamos
en J3.Por otro lado, para medir la frecuencia de resonancia paralelo
necesitaremos un receptor de AM que al tener un filtro de 10 Khz no necesita
resintonizar continuamente mientras se busca el mínimo. Para esta medida el
voltímetro no nos vale ya que no tiene suficiente sensibilidad. Es importante
para medir esta frecuencia que el receptor no capte directamente la señal de RF
del oscilador ya que de lo contrario será imposible determinar la frecuencia de
resonancia paralelo del cristal.
Fig 4: Esquema de conexiones de
medida
En el caso de usar el OFV del EA
QRP no es necesario este transformador ya que el OFV tiene salida de unos 600
ohmios y si lo cargamos con 50 ohmios queda casi cortocircuitado. Para atenuar
la salida del OFV se puede usar un potenciómetro. Para las pruebas he usado un atenuador por pasos. Con el OFV 900 también
se puede usar la solución del potenciómetro aunque no la he probado.
Para el ejemplo que vamos a
realizar se dispone de un lote de cristales de 10,5 Mhz de alta calidad. A cada
cristal le pondremos un número marcado con un rotulador indeleble. Lo primero
es hacer el montaje para medir la frecuencia de resonancia serie y paralelo.
Para ello usaremos el diodo detector con un voltímetro digital en la escala de
0,2 voltios. Un instrumento de aguja de 20.000 ohmios voltio también podría
valer, pero es mucho más fácil detectar pequeñas variaciones con el voltímetro
digital.
Fig 5: OFV 900 y montaje de
medida de FS
Montaremos el cristal sin
condensador en serie, directamente soldado a las resistencias R3 y R4.
Ajustamos la frecuencia del oscilador hasta conseguir la lectura más alta
posible en el voltímetro, esta frecuencia está unos Khz por debajo de la
frecuencia marcada en el cristal, por tanto iremos bajando lentamente la
frecuencia del oscilador, partiendo de la frecuencia marcada en el cuerpo del
cristal, hasta encontrar el máximo buscado. Hay que tener en cuenta si se usa
el OFV 900 que el pico puede estar entre dos saltos de 100Hz, en este caso se
puede medir las frecuencias superiores e inferiores que den el mismo valor en
el voltímetro para luego hacer la media aritmética y de esta forma obtener la
frecuencia más exacta posible.
Repetimos la operación con cada
cristal disponible y seleccionaremos tantos cristales como vayamos a usar en
nuestro filtro, teniendo en cuenta que las frecuencias deben ser lo más
próximas posibles y que las más distantes no lo sean en más de 100Hz. Por esta
razón es por lo que hay que medir con la mayor precisión que sea posible.
Si usamos el OFV del EA QRP el
procedimiento es el mismo, ajustaremos la frecuencia para conseguir un máximo. Hay
que tener en cuenta que es necesario hacer una bobina que haga oscilar el OFV
en la frecuencia de trabajo del cristal que deseemos medir. Si no disponemos de
frecuencímetro podemos usar un receptor moderno con lectura digital de la
frecuencia y haciendo batido cero hallamos la frecuencia de trabajo del OFV. Es
importantísimo que el OFV esté metido en una caja sólida con todos los cables
de alimentación y potenciómetro multivuelta desacoplados con condensadores
pasamuro. De esta forma no radiará. Si por el contrario se usa el OFV 900
aplicaremos la misma regla de montaje.
Hay que hacer notar que el OFV
900 entrega una onda cuadrada. Esto no afecta a las medidas y por tanto no es
necesario filtrar la salida del OFV 900. Si que será necesario colocar un
condensador de paso de 100nF para evitar cargar en corriente continua al OFV
900 con los 1000 ohmios del circuito de medida.
Medida de la frecuencia de resonancia paralelo:
Antes de hacer esta medida
comprobaremos, sin el cristal, qué nivel de RF llega al receptor que estará
conectado a J2, seguimos con el esquema de la figura 4 con el OFV conectado en
J1. Sintonizamos el receptor a la frecuencia del OFV y medimos la señal.
Debemos tener una señal menor a S6 para el máximo de salida del oscilador. El
OFV 900 entrega 1W, con otro sistema de medida puede que el nivel sea incluso
mayor. Para el mínimo de salida del oscilador debe haber una señal
imperceptible. Eses posible que se necesite meter el atenuador de 20 dB en caso
de disponer de él en el receptor. Si el sistema de medida no presenta un buen
aislamiento entre OFV y receptor malamente podremos localizar la frecuencia de
resonancia paralelo. La única radiación que debe capturar el receptor es la que
se acopla entre R3 y R4 en ausencia del cristal, y ésta ha de ser muy débil
pero suficiente como para detectarla.
Colocamos ahora el cristal,
ajustamos la salida del OFV a máximo y variamos lentamente la frecuencia del
oscilador hacia arriba, por encima de la frecuencia marcada en el cristal,
hasta conseguir un mínimo en el receptor. Hay que recordar que conforme
variamos la frecuencia del oscilador tendremos que resintonizar el receptor. La
primera aproximación la haremos midiendo con el voltímetro la salida del
detector, buscando el mínimo de lectura y luego seguiremos con el receptor una
vez el voltímetro ya no marque nada o muy poco. Si al variar la frecuencia, el
mínimo se mantiene esto es señal que estamos recibiendo señal directa que no
pasa por el cristal. Para hallar la frecuencia de resonancia paralelo, usaremos
entonces, un par de frecuencias que estén una por debajo y otra por encima del
mínimo de tal forma que ambas produzcan la misma amplitud en el receptor.
Hallamos la media aritmética de ambas frecuencias y con esto tendremos la
frecuencia de resonancia paralelo.
El receptor en principio lo
pondremos en AM de forma que sea más sencillo hallar la frecuencia de mínima
señal. Si no disponemos de frecuencímetro pasamos a SSB y buscamos el batido
cero para saber qué frecuencia es. Este procedimiento es laborioso y el éxito
depende de la habilidad para encontrar la mínima señal que es la que coincide
con la frecuencia de resonancia paralelo del cristal.
Fig 6: Montaje de medida de la
frecuencia paralelo FP. El atenuador está intercalado entre el OFV y
el sistema de medida.
Medida de la resistencia serie equivalente:
Antes de desmontar el cristal
para añadir el condensador en serie mediremos la resistencia serie equivalente.
Para ello ajustamos el oscilador en la frecuencia de resonancia serie que
corresponde con el máximo de lectura del voltímetro conectado al detector.
Anotamos el valor que mide el voltímetro y substituimos ahora el cristal por
una resistencia ajustable de unos 100 ohmios que no sea bobinada. Ajustamos el
valor de la resistencia para volver a leer en el voltímetro el mismo valor que
teníamos antes con el cristal. Sacamos la resistencia y medimos con el óhmetro
el valor de ajuste. Este valor es la resistencia serie equivalente RS1.
Medida de la frecuencia de resonancia serie cargado:
Una vez seleccionados los
cristales que coinciden sus frecuencias de resonancia serie, la frecuencia
paralelo no va a coincidir de la misma forma por la propia dificultad de
medirla, pasamos a medir las frecuencias con carga de 10 pF y 27 pF. Es
conveniente para mejorar la precisión de los cálculos que los condensadores los
midamos con un capacímetro o en su defecto usemos condensadores del 2% o
mejores.
Montamos el condensador de 27pF y
buscamos la frecuencia de resonancia serie de la misma forma que se ha
explicado antes. Esta frecuencia estará muy cerca del valor marcado en el
cristal. Cambiamos el condensador de 27 pF por el de 10 pF y repetimos la
medida, ahora la frecuencia de resonancia estará un poco por encima de la anterior.
Con el lote de cristales que se
dispone se han obtenido las siguientes frecuencias:
Frec en Mhz
|
|
FS
|
10,49600
|
FP
|
10,51410
|
Fl27
|
10,50000
|
Fl10
|
10,50460
|
Rs1
|
18,3 ohmios
|
Tabla 1: Frecuencias medidas
Con estos
valores medidos vamos a realizar los cálculos para determinar el valor de C0,
C1 y L1. Empezamos por hacer los cálculos intermedios y
luego calculamos el resto:
Tabla 2:
Cálculos ejemplo
Si metemos los
valores calculados en las fórmulas 1, 2 y 3 obtendremos las frecuencias
mediadas anteriormente. Habrá pequeñas diferencias debido a la precisión de las
fórmulas, pero esto no es importante.
Para
asegurarnos que hemos hecho bien los cálculos vamos a usar las fórmulas 1, 2 y
3:
Tabla 3:
Comprobación de los cálculos hechos
Como podemos
ver en la tabla adjunta los resultados coinciden con las frecuencias usadas
para los cálculos.
Ahora ya
podemos usar el programa Filter Design[1], entre otros, e introducir los
parámetros medidos en uno de los cristales de librería del menú “Utilities->
enter user cristal parameters” elegimos la opción “Cp, Lc, Cs and RS Known” Esto nos abre una ventana en la que
introducimos los valores calculados y de esta forma ya tenemos un cristal
disponible para hacer cálculos de filtros.
Ejemplo de filtro
Se ha calculado
un filtro Chevyshev con las medidas hechas a los cristales de 10,5Mhz. El filtro
se ha hecho para CW con un ancho de banda de 600 Hz. Los cristales de
frecuencias altas no permiten hacer buenos filtros de CW ya que para estrechar
la banda usa unos condensadores de mucha capacidad, la impedancia del filtro es
muy baja y las pérdidas son altas. No obstante como ilustración nos vale.
El circuito de
la figura 6 se ha simulado con Qucs. Los resultados de la simulación son
ligeramente diferentes a lo calculado[1]. La impedancia del filtro es de
unos 30 ohmios en lugar de 16 que dice
el programa. El ancho de banda a 3dB es de 420 Hz en lugar de 600 que es lo
especificado. Los condensadores a usar será una asociación paralelo lo más
aproximada a lo calculado y para adaptar los 30 ohmios al resto de circuitos se
tendrá que añadir un transformador o
mejor aún un adaptador en L.
Fig 7:
Prototipo del filtro
En la figura 7
podemos ver el prototipo del filtro con las bobinas de adaptación y por debajo
en montaje SMD los condensadores. Las posiciones vacías son para diversas
configuraciones de adaptación o porque no ha hecho falta el paralelo de dos
condensadores. Por ejemplo 3.9nF se aproxima bastante a 3,739 nF y en la
simulación se vio que no afectaba este cambio.
Conclusiones
Con medios
disponibles en casa y bastante ánimo se puede seleccionar los cristales para
hacer un filtro en escalera suficientemente bueno y barato para un buen RX QRP.
Equipos de muy alto precio como el K3 equipa este tipo de filtros en FI previos
al SDR.
Para construir
filtros que alguien ya calculó y ha publicado o suministra en forma de kit, no
deja de ser interesante comprobar que los cristales están correctamente seleccionado.
[1]Cálculo de
filtros con AADE filter design.
[2] Notas técnicas de diversos fabricantes de
cristales para obtener las fórmulas que relacionan las frecuencias y el circuito equivalente. Euroquartz Technical notes.
AN826 de MicroChip.
[3]www.giangrandi.ch/electronics/chrystalfilters/xtalfilters/shtml
[4]Simulación mediante QUCS. Free software.
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